如果懒得看推导的话，就只看用蓝色标出的部分好了，红色是缩略版的推导:)

继续前几天在blog发过的那个王建硕同学提到的游戏，当那个游戏只有两个人玩的时候，最优选择无疑是0，两个完全的理性人都必须做出这唯一的选择，否则就会失败，这个最优结果是收敛的，而默默提到的剪刀包袱锤游戏的最优结果是循环的，所以才造成了困境，这是两个不同类型的游戏。


王建硕的游戏在两个人的时候，无论对方选什么，自己选0肯定可以赢，假设对方选的是a，那么求和之后还是a，算术平均得a/2，再取三分之二得a/3，a/3到0的距离为a/3，而到a的距离为2a/3，当a大于0时，后者永远大于前者，也就是对方永远输，a=0时大家都是0，自己也没有输，所以两个人的时候最优选择是0，那为什么后来选择0的人又输了呢？


两个人时的结果可以轻而易举的收敛到0，当三个人的时候，如果自己还是选0，另外两个人一个选a，一个选b，则求和得a+b，平均得(a+b)/3，再乘以2/3得2(a+b)/9，这个数到0,a,b的距离分别是2(a+b)/9，abs(2b/9-7a/9),abs(2a/9-7b/9)，这三个数谁小谁就赢，假设a大于b，则上式简化为2(a+b)/9，7a/9-2b/9,abs(2a/9-7b/9)，还不够简化，继续假设2a/9大于7b/9，也就是a超过b的3.5倍的时候，最后一个绝对号就可以去掉了，这样三个距离就成了2a/9+2b/9，7a/9-2b/9,2a/9-7b/9，显然第一个就大于第三个了，用第二个减去第三个，其差比第一个还大，也就大于第三个了，这说明一个极其愚蠢的人在让自己死的很惨的同时也把最聪明的那个拖下了水。


接着上面内层假设，假设2a/9小于7b/9，也就是a小于b的3.5倍的时候，则原式简化为2a/9+2b/9，7a/9-2b/9,7b/9-2a/9，第二个最大，用第二个减去第一个得：(5a-4b)/9，第二个减去第三个得：a-b大于0，显然第二个已经输了，用第一个减去第三个得：(4a-5b)/9，如果a小于1.25b的话第一个就赢了，如果a大于1.25b，a也就是超过b的四分之一以上时，第一个仍然会输，这里衡量了a的愚蠢程度对结果的影响。当a=1.25b的时候，最聪明的和次聪明的赢。


当2a=7b，也就是a=3.5b的时候，还是次聪明的赢；当a=b的时候是最聪明的赢；当a小于b的时候对换a,b的位置就可以了，解题过程结束，下面是结论：


当三个人玩王建硕的那个游戏时，如果一个人选择最优策略0，那么 他是否能够赢取决于另外两个人选择的数字的差距(聪明程度的差异？)，如果两个数之比大于1.25的时，选择次优解的那个人赢，等于1.25时，次优解和最优解同时赢，小于1.25时，最优解赢；选择最差解的那个人没有赢的机会。


当三个人玩游戏而自己又不选择最优解时，问题就稍复杂了一点，如果自己仍然是最小值，那么肯定还有一个比例是自己可以赢的，但这个比例可能比1.25要更大，可以这样解释：最聪明的人在努力的降低一点自己的聪明程度之后，他赢得游戏的机会就大大增加了，然而当另外两个人的选择仍然差异巨大时他还会输掉这个游戏。


当三个人玩游戏，自己无法保证自己是最小值时，也要保证自己不是最大值，因此三人游戏的策略就是分析另外两个人出的数字可能的差距，差距大的话自己就选他们中间的数，差距小的话自己就选比他们两个数中较小的那一个稍稍小一点的数，这样就最有把握赢得游戏。


四个人，更多个人的情况可以做类似的分析，但无疑已经非常麻烦了，这个问题和三体运动产生复杂性的过程类似吗？通过以上分析可以知道，这两个不是同一类型的，三体问题是由二到三问题一下子就不可解了，而这个三还是可以解的，这个问题更多的是类似于一个组合爆炸的问题，就是在3的时候还不是很复杂，随着个数的增加，问题的复杂性指数式上升，最终使得完全的分析成为不可能，不过好在结果是收敛的，在王建硕做的实验中已经可以看到，结果收敛于22，在无法用确定性工具处理问题的时候，我们还有统计性的工具。